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作者:中梓星音

距离是什么?

如果小红家在坐标(58,-63)处,小明家在坐标(678,588)处。那么聪明的你一定能找到:小红家到小明家之间的距离就是一组勾股数就能解决的:


\sqrt{(58-678)^2+(588+63)^2}=\sqrt{620^2+651^2}=899

这就是著名的勾股定理。

我们在坐标系里面建立简单的三角形。算一下斜边的长度,就可以轻松得到两位同学之间的距离。

这真的是距离吗?

杰克不愿意了,它是一位来自美国的交换生,现在正值暑假,他正在故乡一处海边别墅度假。此时他的坐标是36°51'20.9"N 75°59'06.7"W

如果这时,想要计算小明到杰克家的距离,用勾股定理显然算不出最近的距离——因为地球是圆的!

距离真的只有一种定法吗?

显然不是

如果想要算出准确的最近距离,我们需要以地球球心,做一个穿过小明和杰克的大圆,测量劣弧的长度来算出小明到杰克之间的最短距离。

再比如,小明去小红家,也并不是走899米就能到的。途中可能会有高楼大厦,可能会有公园,可能会有小溪、喷泉、森林……有各种各样的障碍物阻碍着这899米的距离。可能小明顺便去了趟小卖部买点见面礼,走了1580米,也有可能小明乘坐了私人专车,仅走了37米。小明甚至还会打开时空裂痕,直接瞬移过去。——小明有太多选择了,我们不知道他到底需要走多少。

那么看来,我们需要的不是一个统一的距离测量方法,而是一个统一规矩,来制定不同的“测距方法”。

距离定义

集合的任意三个元素x,y,z\in X,只要满足以下三条:

d(x,y)\geqslant 0,\quad d(x,y)=0 \Leftrightarrow  x=y \\
d(x,y)=d(y,x) \\ 
d(x,y)+d(y,z) \geqslant d(x,z)

的二元函数d存在,我们就称其为定义在X上的距离。

推翻、重筑

这个过程其实本质上是对距离的定义进行了一次拓展。

勾股定理当然也满足上面三条,我们想加入一些其它的距离,就发明了一套模板来把勾股定理的精华性质提取出来,方便我们验证自己发明出来的函数到底能不能叫做距离。

欧几里得空间

如果我们把勾股定理定义在\mathbb{R^2}上,那么它们构成的空间(\mathbb{R^2},d)就叫做二维欧几里得空间。也就是我们平时日常生活中常用的距离都是在欧几里得空间里定义的。

邻域

有了距离,我们就可以确定哪些人离我近,哪些人离我远了。比如我想知道离我距离为1米之内所有的人都有谁,那么我可以把每个人的坐标都找出来,跟我自己的坐标全部测量一遍,符合要求的留下,不符合要求的话抹去。

符合要求的这些点的集合,叫做1-邻域,这里的1没啥特别的,就是表示我们设定的1米。在欧几里得空间里,这是一个以你为中心,半径为1的圆面。如果不包括1米的话,正好在圆上的点会抹去,圆内的点保留。

我们往往不会用一个平庸的1,想让它复杂多变一些。所以可以给它一个变量\epsilon,其实就是以你为中心、半径为\epsilon、不包括圆边界的圆面集合而已嘛~

那么变量都有了,名字也要高大上一些:\epsilon-邻域

只要认为这是一群离你近的那些邻居的集合即可。用U_{(你的位置;半径)}表示。如果你的位置是a(二维向量),半径是\epsilon,那么就是U_{(a;\epsilon)}

开集

开区间想必大家都学过。我们这里把开区间的定义拓展到平面上。

对于一个平面子集A\subset \mathbb{R^2},如果里面每一个点a\in A都存在邻域U_{(a;\epsilon)}使得

U_{(a;\epsilon)} \subset A

那么A就叫开集。

欧几里得空间的情况就是:A每个点四面八方都必须要有邻居紧密相连。A=\{(x,y)|x^2+y^2<1\}是开集,但B=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 1\}不是。因为(1,0)这个点虽然在B里面,但是它在圆的分界线上,左方向虽然有邻居,但是右面是虚空...

所以画成图,如果是一坨边缘是虚边的图像的话。那应该就是开集没跑了。

ok 热身结束了

开集真的只有一种定法吗?

看到这里你可能会懵掉。——我都不知道开集有啥用呢!

开集的应用

开集并不是什么直观的概念。现实生活中其实很少体现...
它最大的用处之一,就是被用来构造一个大家都认可的极限的定义,从而去定义函数的连续性。——你认为它是用来擦“以前极限定义的不严谨”的屁股的也可以...

为什么会有这种需求...

打开“开集能否有其它定义方法”脑洞的,是因为大家发现:不论你用勾股定理定义的距离(欧几里得距离),还是曼哈顿距离,定义出来的开集,是完全等价的...

也就是欧几里得距离下的开集,放到曼哈顿空间里测一测也永远是开集,反之亦然——那我废了吧劲地定义不同的距离,最终做出来的极限定义其实没什么卵差别。

我们需要不同的极限!我们需要Freedom!我们需要寻找本质!

所以我们最终发现:真正导致一个空间解析结构发生变化的是——开集的构造模式!

推翻、重筑、开集公理!

这里我们放弃所有开集的印象!——虽然我们前面千辛万苦去理解了它,但那不是它的本质...

只要给你个集合X,符合下面几条规律去指定“X的所有子集中谁是开集”即可构成一个你指定的开集组成的集合\mathcal{T}

  1. 空集和全集X必须是开集
  2. 任意个开集的并集是开集
  3. 有限个开集的交集是开集

那么\mathcal{T},就是你指定的开集的集合。

第一条你没得选,空集和全集必须要在\mathcal{T}里面。第二条只要保证你选的开集们,任意个(包括各种无穷)它们自己并来并去还在\mathcal{T}里面就行。第三条就是交来交去还在\mathcal{T}里面。

(X,\mathcal{T})

就叫拓扑空间啦~

比如我把X=\{1,2,3,4\}设为全集。

\mathcal{T}_1=\{\phi, X\}

我仅放这俩进去,照样满足上面三条。

我也可以这么定:

\mathcal{T}_2=\{\phi, X,\{0,1\},\{2,3\}\}

但是这样不行:

\mathcal{T}_3=\{\phi, X,\{0\},\{2,3\}\}

因为\{0\}\cup\{2,3\}=\{0,2,3\}\notin \mathcal{T}_3

这样一来,(X,\mathcal{T}_1)(X,\mathcal{T}_2)就是你定义的两个不同的拓扑空间啦~

可以看出,这开集一点也没上面那种图形的影子...不过,我们用欧几里得空间定义出来的开集们,确实可以用上面的开集公理构造出来。只不过仅开集公理是不够用的。我们还需给邻域做做全新的定义,毕竟我们把开集公理作为了一切的基石...旧的邻域概念不得不抛弃了。

(未完待续...)

       

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